非线性泛函微分方程理论及应用

成果拥有单位：中南大学

成果简介：

时滞现象在实际问题中是普遍存在的，在通讯系统、控制系统和神经网络等自然科学与社会科学中提出了大量的时滞微分方程问题，反映时滞现象的泛函微分方程已经成为非线性分析领域内非常重要的研究内容。从1999至2008年，在国家自然科学基金等课题资助下，结合非线性泛函分析与动力系统的方法，我们对非线性泛函微分方程的定性理论、稳定性理论、振动性理论、周期解存在性、边值问题和分支理论等进行了深入系统的研究并取得了一系列重要成果:

1、将Wright (1955年）和Yorke（1975年）分别获得的关于纯量时滞微分方程著名的3/2-稳定性准则首次成功地推广到高维时滞微分系统,创立了研究高维时滞微分系统解的稳定性非常有效的非Liapunov方法，推进了Yorke理论的发展。以应用数学顶级期刊《SIAM J APPL MATH》等７个国际杂志编委、单调动力系统国际权威、美国Arizona State University的Hal L. Smith 教授为代表的多位学者认为我们的方法是研究高维时滞微分系统解的稳定性非常有效的非Liapunov方法.

2、首次系统地研究了一阶超线性时滞微分方程的振动性，获得了保证其所有解振动的“sharp” 振动准则。以色列Ben-Gurion University of the Negev著名学者L. Berezanski 教授认为我们的工作“填补了自19世纪Sturm提出微分方程的振动性理论以来的一个长期的空白”。

3、系统地研究了一阶时滞微分方程的临界振动性，首次建立临界状态下一阶时滞微分方程与二阶常微分方程振动等价性 (即建造一座从已知到未知的桥梁).利用二阶常微分方程丰富的振动性结果，在临界状态下，建立了一系列一阶非线性时滞微分方程的振动准则和线性化振动准则.很好地解决了微分方程权威专家A.Elbert教授等提出的(二十几年未解决的)三个公开问题。

4、系统研究了一阶时滞差分方程解的振动性，导出了一系列保证其所有解振动的“sharp” 振动准则,这些准则已经成为研究时滞差分方程解的振动性的基本准则。

    在《J. Differential Equations》、《SIAM J. Math. Anal.》、《Nonlinearity》、《Proc. Amer. Math. Soc.》和《J. London Math. Soc.》等国际权威期刊上发表论文120篇，其中SCI收录85篇。这些成果发表后，已被20多个国家的专家学者在SCI包括《J. Differential Equations》、《SIAM J. Appl. Math.》和《Nonlinearity》等国际一流刊物他引535次，其中单篇他引43次。